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By Prof. Donald E. Knuth (auth.)

Das Buch Arithmetik ist eine Übersetzung des vierten Kapitels der legendären Werkreihe "The artwork of laptop Programming" von Donald E. Knuth in der neuesten Fassung. Es handelt sich um eine umfangreiche Einführung in die Computeralgebra, die den neuesten Stand der Forschung berücksichtigt. Donald E. Knuth versteht es, die Algorithmen didaktisch sehr geschickt und ohne Kompromisse bei der Strenge aufzubereiten. Das Buch enthält außerdem Hunderte von Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade mit Lösungen. Der Übersetzer, Prof. Dr. R. bogs, lehrt an der Universität Tübingen.

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Von der Gleitkommadezimalzahl 1,0000000 kann gesagt werden , sie repriisentiere alle reellen Werte in dem Intervall [1,0000000 - 5 x 10- 8 . 1,0000000 + 5 x 10- 8 ], wahrend 0,99999999 alle Werte in dem viel kleineren Intervall (0,99999999 - 5 x 10- 9 .. 0,99999999 + 5 x 10- 9 ) reprasentiert. Obwohl das letzte Intervall den urspriingliehen Wert 0,999999997 nicht enthalt, ist jede Zahl des zweiten Intervalls im erst en enthalten, also sind naehfolgende Reehnungen mit dem zweiten Int ervall nieht weniger genau als mit dem ersten.

Von diesen Gesetzen konnen wir weit ere Identitaten ableiten ; z. B. (Ubung 1), u ev =-(v eu) . 1 gefolgert werden. Die folgende Regel ist etwas weniger offensichtlich: u ::; v , falls dann u EElw::; v EElw. 1A zu beweisen zu versuchen , gehen wir zuriick zu den Crundprinzipien, nach welchen del' Algorithmus entworfen wurde. ) Unsere Ide e war, dass die Gleitkomma-Operationen erftillen sollten u EEl v = round (11. 1N definiert ist. Wir haben :1: bezeichnet, wie sie in round( -x ) = - round (x ), x ::::; y impliziert (9) (10) round(x) ::; round(y) , (11) und diese Fundamentalrelationen ergaben unmittelbar die Eigenschaften (2) bis (8).

14. [25] Schreib e ein MIX-Unter pro gramm, dass mit einer beliebigen Gleitkommazahl in Regist er A, nicht notwend ig normie rt , beginnt , und sie zur nach st en gan zen Festkomm azahl konvertiert (oder fests tellt , das s die Zahl dem Absolutwer t nach zu grof ist , eine solche Konversion zu errnoglichen). ~ 15. [28] Schreibe ein MIX-Unt er programm zur Verwendung in Verb indung mit den anderen Unterprogrammen dieses Absehn itts, dasu ~ 1 berechnet , naml ich u - lu J gerundet zur nachsten Gleitkommazahl ftir eine gegebe ne Gleitkommazahl u.

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